در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

u2x,y,z,t  u20, x,y,t -z uy0 (١)
u x,y,z,t  u0x,y,t
که در آن ,10u20, ، u و 0u به ترتیب مؤلفه هـای تغییـ ر مکـان درراســتای y ، x وz دســتگاه مختصــات، در یــک نقطــه از میان صفحه z 0 است.
معادله دیفرانسیل حاکم بر تغ ییـر مکـان ورق هـا تحـت اثـر بارگذاری خارجی بهصورت زی ر است:
44577068426

(٢)  4u x4u4 2 x2 24uy y4u4  pzDx,y در رابطه فوق u تابع جابه جایی عمود بر ورق، pz بارگـذاری خارجی و ثابت D بیـ انگر سـخت ی خمشـی ورق اسـت کـه از رابطه زی ر به دست می آید:
12 1

Eh32 (٣)
مــدول الاستیســیته مــاده ورق،  نســبت پواســون وh ضخامت ورق است. در ای ن تحقیق مقادیر این سه پارامتر ثابـتفرض می شود. با استفاده از عملگر لاپلاس دو بعدی رابطـه (٢) را می توان به صورت زیر تعریف نمود:
D 2 2u x, y  pz x, y (۴)
این رابطه معادله دیفرانسیل پاره ای ناهمگن مرتبه چهـارم بـاضرایب ثابت است که معادله بای هارمونیک غ یـر همگـن نیـ ز نامیده می شود. پاسخ دقیق این رابطه با برآورده کردن معادلـهدیفرانسیل و شرایط مرزی مربوط بـه مسـئله ورق بـه دسـت می آید. از آنجا که رابطه (۴) یـک معادلـه د ی فرانسـیل مرتبـهچهارم است، در هر نقطه از مرز نیـ از بـه وجـود سـه شـرطمرزی است.
توابع مجهول میدان جاب هجایی ورق در هر گره را مـی تـوانشامل سه عضو تغییر مکان در راستای قائم، شیب در جهـتx و شیب در جهت y در نظر گرفت. بنابراین حل مسئله ورق بـااستفاده از این روش با فرض وجود سه درجه آزادی در هر گره انجام م یشود: (۵) u  u ux uyT
که در آن ux و uy بهترتیب مشتق u نسبت به x و y است.

٣- فرمول بندی روش بدون شبکه توابع پایه نمایی حل یک مسئله معادله دیفرانسیل عـلاوه بـر ارضـای معادلـه دردامنه حل، نیازمند برآورده ساختن شرایط مرزی آن مسئله است. به طور کلی مسئله معادله دیفرانسیل را می توان به صورت زیر در نظر گرفت:
Lu fin 
L uD fDon D ,DD   NN (6)
L uN fNon N
که در آنL عملگـر اصـلی معادلـه د یفر انسـیل وLD و LNبه ترتیب عملگر هـای شـرایط مـرز ی ضـروری و شـرط مـرزی طبیعی است. هم چنین D ،  و N به ترتیـ ب نشـان دهنـدهمرز مسئله، مرز ضروری و مرز طبیعی است.
حل معادله بـه صـورت مجمـوع دو حـل همگـن و خصوصـی نوشته می شود: (٧) u u h up
با استفاده از رابطه (٧) نتایج زیر حاصل می شود:
Luh 0in 
Lup fin 
L uDh  fD L uDpon D (٨)
L uNh  fNL uNpon N
تابع مجهول u را می توان به صورت ترکیب خطی از توابع پایـ ه به صورت زیر در نظر گرفت:

u c Vk k (٩)
1kدر رابطه فوق Vk ، توابع پایه و ck ضرایب ثابـت هسـتند . در روش مورد استفاده توابع پایه به صـورت توابـع نمـایی بـه فـرم
exp( x y) در نظر گرفته می شود که در آن  و  مقادیر ثابت مختلط هستند. با در نظر گرفتن تعداد محدودی از جملات رابطه (٩)، بخش همگن تابع مجهول را می توان به صـورت ز یـر نمایش داد:
mh uh c exp(hk hkxhky) (١٠)
1kدر رابطه فوق mh تعداد پایه های حل همگن اسـت. بـه منظـورتعیین ضرایب ثابت، شرایط مرزی مربوطه در نظر گرفته می شود.
فرم برداری این رابطه را می توان بهصورت زیر تعریف کرد: (١١) uh V ch h
که در آن uh مقادیر معـلوم مـرزی و Vh ماتریس توابع پایـ ه همگن به ازای مختصـات نقـاط مـرزی اسـت . بنـابراین بـردارضرایب از رابطه زیر تعیین می شود: (١٢) ch  Vh1 uh بالانویس1 در رابطه فوق نشان دهنده وارون تعمیم یافته مور پنروز است. این وارون در حالتی که ماتریس مورد نظـر مربعـی نباشد، مورد استفاده قرار می گیرد و برای یـ ک مـاتر یس مربعـ ی غیرتکین با وارون عادی آن یکسان است. بـا جای گـذاری رابطـه(١٠) در معادله دیفرانسیل همگن بای هارمونیـ ک، عبـارت ز یـ ر حاصل می شود:
hk 2   hk 22 0
بنابراین می توان نوشت:
    hkhk ii hkhk ((folded rootsfolded roots)) پایه های تولید شده با اسـتفاده از رابطـه فـوق همـان پا یـه هـای به دست آمده برای معادلـه د ی فرانسـیل لاپـلاس اسـت. بـا ایـ ن تفاوت که رابطه (١٣) دارای ریشه های تکراری اسـت. بنـابراین این معادله دارای تعدادی جواب گمشده است. به منظور تکمیـ ل سری جواب، یک چندجمله ای خطی بهصورت ax by c  در پایه های قبلی ضرب می شود. بـا انتخـاب مقـادیر ضـرایب ایـ ن رابطه به شکل زیر جواب های گمشده قابل تعیین است: (١۵) 0a  b 1, c 
لازم به ذکر است افزودن هـر ترک یـب مسـتقل خ طـی جد یـد از ضرایب b ، a و c برای ساخت پا یـه هـای حـل، نـه تنهـا بـهافزایش دقت حل محاسبات کمکی نخواهد کرد، بلکـه موجـبافزایش حجم و هزینه های محاسـبات مـ یشـو د [٣٣]. بنـابراین پایه های حل معادله دیفرانسیل بای هارمونیـ ک بـه صـورت ز یـر است:
u  c exp(1   kx i ky)  c exp(2   kx i ky) c exp(i3  kx ky)  c exp( i4  kx ky)  c5 x  y exp(   kx i ky) (١6)
پایه حل همگن شامل دو عضو دیگر است کـه همـان مشـتقاترابطه فوق نسبت به x و y است. بنابراین ابعاد ماتریس توابـعپایه در هر گره برابر mh3 است. مؤلفه هـای مـاتریس توابـعپایه حل همگن در هر گره بهصورت زیر قابل توسعه است:
f1  exp(kx  i ky) x exp(kx  i ky) y exp(kx  i ky)T
1109472-316127

2030730-316127

f2 exp(kx  i ky) x exp(kx  i ky) y exp(kx  i ky)T
f3 exp(ikx ky) x exp(ikx ky) y exp(ikx ky)T

(١٧)
بنابراین ماتریس توابع پایه حل همگن در هر گره به صورت زیر تعریف می شود:
Vkh f1f2 f3  f8 (١٨)

۴- حل مسـئله ورق بـه روش بـدون شـبکه توابـع پایه نمایی
جهت بررسی دقت روش توابع پایه نمایی در حل مسائل هموار ورق، یک ورق مستطیلی به طول دو و عرض ی ک در نظر گرفته شده است. گسسته سازی به صورت منظم بر روی مرز دامنه انجام شـده کـه در آن نقـاط بـا فاصـله h 0 05/ از یکـدیگر قـرار گرفته اند. تابع حل دقیق در نظر گرفته شـده بـرای ایـ ن مسـئله بهصورت رابطه زی ر است: (١٩) 2u  x y3  xy3  y
در شکل هـای (١) و (٢) بـه ترتیـ ب تـابع حـل دقیـ ق بـردارجابه جایی و اختلاف آنها با حل تقریبی به دست آمـده نشـانداده شده است. نرم خطای به دسـت آمـده بـرای هـر یـ ک از مقادیر ux ، u و uy بـه ترت یـب برابـر مقـادیر 14 /2 78 10، 14 /8 75 10 و 13 /1 72 10 اســـت. شـــکل (٣) شـــیب
c6 x  y exp(   kx i ky)  c7 x  y exp(i  kx ky) 
c8 x  y exp( i kxky)
با توجه به وجود سه درجه آزادی در هر گـره، مـاتریس توابـعهمگرایی حاصل از حل مسـئله ورق بـهروش بـدون شـبکه توابع پایه نمایی را نشان می دهد. قابل ذکـر اسـت کـه شـیب بهترین خط برازش شده به نقاط نمودار به عنوان شی ب در نظر گرفته شده و روی شکل نشان داده شده است.
۵- توسعه روش بدون شبکه توابع پایه نمایی بـرای حل مسائل تکین
همان گونه که در بخش های قبل بیان شد به دلیل همـوار بـودنتوابع پایه در روش مورد استفاده، عملکرد ایـ ن روش در حـلمسائل تکین از کارایی مناسبی برخوردار نیست. وجـود نقـاطتکین در دامنه حل مسائل موجب کاهش شدید دقـت حـل وشی ب همگرایی ا یـن روش مـ ی شـود. از اینـرو لازم اسـت بـابه کارگیری تمهیداتی ویژه، فرمول بندی ایـ ن روش بـه گونـه ای توسعه یابد که حل مسائل تکین با دقـت و شـیب هـم گرایـی مطلوبی حاصل شود. راهکار پیشنهادی در این تحقیق، اضـاف ه کردن توابع پایه تکین متناسب بـا شـرایط مسـئله اسـت . ایـ ن پایه ها دارای ناپیوستگی مناسب در نقطه تکین بـوده و معادلـهدیفرانسیل مربوطه را برآورده می کنند [٣۴]. این کـار بـه شـکلزیر انجام می شود:

92964-1698921

(الف) (ب) (پ) شکل ۱- حل دقیق مسئله ورق، (الف) u ، (ب) ux و (پ) uy

95250-1642534


پاسخ دهید