ij مجموعه ای از نقاط واقع در دامنه تکیه گاهی یک گره K
تنش نرمال σ
n طول ضلعΓDk LD
تابع شکل شپارد Φ
تعداد کل گره های سازنده هندسه مسئله M
زاویه اصطکاک خاک φ
به ترتیب طول مؤلفه های بردار نرمال وارد بر ضلعΓDk در جهت ۱ و ۲ و n1D nD2

زاویه اصطکاک مؤثر φ′
بردار واحد نرمال در جهت j nj
تنش برشی τ
عدد پایداری N
وزن نقطه گاوسi ω
i تعداد کل ضلع های سلول ورونویی مربوط به گره q Ns
تابع هموارکننده Ψ
تعداد نقاط گاوس واقع شده در طول ناحیه S NG
دامنه سلول ورونویی Ω L بار حدی Q

١ – مقدمه
یکی از راهکارهـا در تعیـین بـار زوال سـازه هـای ژئـوتکنیکیاستفاده از تئوری های حدی مرز بالا و پایین می باشد که توسـطدراکـر و همکـاران [۱] معرفـی گردیـده اسـت. براسـاس ایـن تئوری ها با در نظر گرفتن رفتار صلب –خمیری۴ برای خاک و با پیروی از قانون جریان وابسته۵، محدوده ای برای بار واقعی زوال بین حدود بالا و پایین معرفـی مـی گـردد . در زمینـه اسـتفاده ازتئوری های تحلیل حدی۶ در حل مسـائل پایـداری در مکانیـکخاک مطالعات متعددی صورت گرفتـه اسـت کـه از آن جملـهمی توان به مطالعات [۶-۲] اشاره کرد. نکته قابل توجه آن است که برای مسائلی با هندسه و بارگذاری پیچیـده اسـتفاده از ایـنتئوری ها به تنهایی جوابگو نمی باشد و لازم است که آنهـا را بـاروش های عددی٧ و برنامه ریزی ریاضی٨ تلفیق نمود کـه منجـربه پیدایش دسته جدیدی از روش های تحلیل حدی تحت عنوان روش های تحلیل حدی عددی شده است. این دسته از روش هـابه دو دسته کلی روش های حـد بـالا و روش هـای حـد پـایینتقسیم شده اند. در روش های حد بالا یـک مکـانیزم زوال مجـازدرنظر گرفته می شود و از طریق برابر قرار دادن تـوان نیروهـایخارجی و توان اتلافی داخلی، یک مسـئله بهینـه یـابی٩ شـکلمی گیرد که با حل آن جواب مرز بالا بـرای بـار زوال بـه دسـتمی آید. درمسائل حد پایین یک میدان تنش١٠ مجاز اسـتاتیکی ١١ در نظر گرفته می شود و از آن طریق تخمینی برای حد پایین بـارحدی به دست می آید. هر چند که روش های حـد بـالا بـه دلیـلسادگی در لحاظ کردن مکانیزم مجاز بیشتر مـ ورد مطالعـه قـرارگرفته اند، اما رو شهای حد پایین بـه دلیـل آنکـه در ذات خـوددارای یک حاشیه ایمنی هسـتند بیشـتر مـورد توجـه مهندسـانمی باشند. استفاده از روش اجزا محدود١٢ به همراه برنامـه ریـزیریاضی برای تعیین حدود پایین در مسـائل پایـداری دو بعـدیاولین بار توسط لیزمر [۷] صـورت گرفـت. هرچنـد کـه روشلیزمر یک پیشرفت قابل توجه در شاخه تحلیل عددی به حساب می آید، اما به دلیل فرمول بندی پیچیده و هزینه محاسباتی بـالا ونیـز وجـود برخـی نـواقص نظیـر عـدم توانـایی در مدلسـازی محیط های نیمه بی نهایت چندان مورد توجه قرار نگرفـت . پـساز لیزمر، محققین دیگری چون آندرهگن و ناپفل [۸] ، پاسـتور[٩] و بوترو و همکاران [۱۰] راهکارهای دیگری را برای تحلیل حد پایین محـیط هـای دو بعـدی براسـاس روش برنامـه ریـزیخطی١٣ ارائه دادند. این مطالعات منجر به یکسری پیشرفت های کلیدی نظیر معرفی اجـزاء انبسـاطی١۴ بـرای محـیط هـای نیمـهبی نهایت و نیز ارائه فرمول بنـدی هـای سـاده شـده بـرای روشتحلیل عددی مرز پایین گردید. با وجود قدرتی کـه روش هـایتحلیل حدی پیشنهادی داشتند، کـاربرد حلگرهـای خطـی١۵ بـاالگوریتم های مقدماتی در آنها منجر به عدم توانـایی در تحلیـلمسائل مکانیک خاک در مقیاس های بزرگ گردید. ایـن مشـکلدر سال ١٩٨٨ توسـط اسـلوان از طریـق ارائـه یـک الگـوریتمپیشرفته به نام الگوریتم دسته فعال١۶ برطرف گردید و این روش پیشنهادی در تحلیل مسائل مختلف مکانیک خاک نظیر تون لهـا [۱۱]، پی ها [۱۲] و شیب ها [۱۳] مورد استفاده قرار گرفت.
بـا وجـود مـوفقیتی کـه روش هـای حـد پـایین عـددی بـاحلگرهای خطی در حل مسائل دو بعدی و نیز مسائل با تقـارنمحوری به دست آوردند، این راهکارها نتوانستند در مسـائل سـهبعدی کاربرد چندانی داشته باشند، زیرا خط یسازی توابع تسلیم در فضای سه بعدی حجم عظیمی از نامساوی ها را ایجاد میکند که عمـلاﹰ حـل مسـئ له را نـاممکن مـی سـازد . عـلاوه بـر ایـن،خطی سازی تابع تسلیم باعث کاهش دقت حل نیز میگـردد . از اینرو دسته جدیدی از روش هـای حـد پـایین عـددی براسـاسحلگرهای غیرخطی بنا نهاده شـده انـد کـه در آنهـا روش اجـزامحدود با در نظر گرفتن تنش خطی در هر المان به همراه شرایط تسلیم غیرخطی در تعیین حد پایین مسائل به کار گرفته میشوند [١۴]. این روش ها در حل مسـائل مختلفـی در مکانیـک خـاکمورد استفاده قرار گرفته اند [١۵و١۶].
قسمت عمـده تحقیقـات صـورت گرفتـه در گسـترشروش های حد پایین عددی، به بهبـود الگـوریتم هـای حـلمسئله بهینه یابی پرداخته اند. حال آنکه تکنیک هـای عـددیمورد استفاده برای مجزا سازی١٧ محیط کمتـر مـورد توجـهقرار گرفته انـد و عمـدتﹰا از روش المـان محـدود [١٧و١٨] جهت مجزاسازی محیط اسـتفاده شـده اسـت. از طرفـی بـاگسترش کاربرد روش های بدون شبکه در شاخه های مختلف علمی، تعدادی از مطالعات به اسـتفا ده از ایـن روش هـا درمجزاسازی محیط در تحلیـل هـای حـدی عـددی معطـوفشده اند. در این زمینـه مـی تـوان مطالعـه چـن و همکـاران[۱۹و۲۰] را به عنوان اولین تحقیقی مطرح نمود که با استفاده از روش بدون شبکه گالرکین١٨ یک روش حد پایین عددی را برای حل مسائل پایداری ارائه نمـوده انـ د. در ایـن روشمیدان تنش مجاز به صورت ترکیبی از یـک میـدان تـنش بـاتعادل ذاتی۱۹ و ضـریبی از میـدان تـنش ارتجـاعی تعریـفمی شود. با مجزاسازی میدان تنش معرفی شده توسط روش بدون شبکه گالرکین و اعمال آن در تئوری حد پـایین یـکمسئله بهینه یابی به دست می آید که با حل این مسئله بهینه یابی توسط یک الگوریتم غیرخطی پیچیده جواب مسئله به دست می آید. روش ارائه شده توسط چن و همکاران با وجود ارائه یک راهکار جدید، روشی پیچیده است که به حل پایین اکید نیز منجر نمی گردد. پس از آن له و همکاران [۲۱] یک روش حد پایین بدون شبکه را برای تحلیل حـدی ورق هـا ارائـهکردند که در آن از روش بـدون ش
ـبکه گـالرکین و مفهـومانتگرال گیری گره ای٢٠ استفاده شده است. روش آنها نیز فاقد توانایی در ارائه حل پایین اکید می باشد. در زمینه مهندسـیژئوتکنیک، غلامپور و بینش [۲۲] با بهره گیری از تابع شکل شپارد٢١ و نیز مفهوم انتگرال گیری عددی، روشی بدون شبکه را برای تعیین مرز پایین ظرفیت باربری پی های نواری ارائه نمودند. این روش برخلاف روش های ارائه شده در مطالعات پیشین، یک مرز پایین اکید برای بار حـدی ارائـه مـی دهـد .
غلامپور و بینش [٢٣] هم چنین از روش ارائه شده در حـلمسئله دریچه مدفون۲۲ استفاده نمودند.
در این مقاله هدف آن اسـت کـه روش ارائـه شـده توسـطغلامپور و بینش [٢٢]، با کاربرد برنامه ریزی غیرخطی٢٣ تقویت شود و نتایج آن برای مسائل مختلف پایداری در مکانیک خـاکمورد بررسی قرار گیرد. برای این منظور با استفاده از تابع شکل شـپارد و مفهـوم انتگ رال گیـری گـره ای و نیـز تغییـر سـاختار تنش های گره ای مجهول یک مسئله بهینه یابی غیرخطی به دسـتمی آید که این مسئله توسط روش برنامه ریزی مخروطـی مرتبـهدو حل می گردد. در نهایت با حل چندین مثال، افزایش دقت و نیز قابلیت روش نسبت به حالتی که از برنامه ریزی خطی جهـت حل مسئله بهینه یابی استفاده می شود، نشان داده شده است.

٢ – کلیات
هدف از محاسبه مرز پایین یافتن میدان تنشی است که معادلات تعادل و شرایط مرزی را در سراسر دامنه مسئله ارضا کنـد و درهیچ نقطه ای از دامنه نیز از معیار تسلیم تجاوز ننماید. در چنـینحالتی بار به دست آمده از ایـن میـدان تـنش از بـار گسـیختگیواقعی بیشتر نخواهد بود. به طورکلی صرفنظر از روش عـددیاستفاده شده، هر مسئله مرز پایین عددی را میتوان بـه صـورتیک مسئله بهینه سازی مقید به شکل زیر بیان نمود:
Max Q(X) subject to : a(X) = 0 (۱)
f(X) ≤ 0
که در آن X بردار تنش، Q تابع هدف (بار گسیختگی)، a تـابعشرایط تعادل و شرایط مرزی وf تابع قید تسلیم می باشند.
ساختار توابع a ،Q و f بسـتگی بـه روش انتخـابی جهـتمجزاسازی محیط دارد. در این مقاله با توجه به خصوصیات ممتاز توابع شکل شپارد در تحلیل های حـد پـایین [٢۴] از روش بـدونشبکه شپارد به منظورمجزاسازی محیط استفاده شده است. لـذا درادامه به تشریح روش بدون شبکه شپارد پرداخته شده است.

۳ – معرفی روش بدون شبکه
بــه طــورکلی در روش هــای بــدون شــبکه، هندســه مســئله توســط مجموعـه ای از گــره هــا در دامنــه آن مدلسـازی مــی شــود و بــرای درونیابی٢۴ متغیر میدان٢۵ نیـازی بـه شـبکه بنـدی محـ یط نمـی باشـد(شکل١). گره ها نیز از طریق ایجاد دامنه تکیه گاهی٢۶ در اطراف هـر گره با یکدیگر مرتبط می شوند. دامنه تکیه گـاهی یـک نقطـه شـامل گره هایی است که برای تقریب تابع، مورد استفاده قـرار مـی گیـرد ومی تواند اشکال مختلفی داشته باشد (شـکل ٢). در انـواع روش هـای بدون شبکه تکنیک های مختلفی برای درونیابی متغیـر میـدانی مـورداستفاده قرار می گیرند. در مقاله حاضر به علت خصوصـیات منحصـربه فرد روش شپارد جهت استفاده در تحلیل های حـد پـایین، از ایـنروش در ساخت توابع شکل استفاده شده است.
اگر N گره در محدوده اطراف نقطهx قرار داشته باشد و مقادیر تابع پیوسته u در گره هـا مشـخص باشـند (یعنـی (1 )u1= u x ، (2 )u2 = u x و … ) تابع پیوسته درونیابی شده توسط روش شپارد به صورت زیر بیان می شود[٢۴]:
N
∑ui∏rjα
u(x) =

i 1=Nj i≠j =1,2,…,N (۲)
∑∏rjα
≠i 1= j iدر رابطه(٢)، α ثابتی است که بر شـکل تـابع درونیـابی شـدهتأثیرگذار می باشد. در مطالعـات انجـام شـده توسـط گـوردن وویکسوم [٢۵] به منظـور همـوار کـردن تـابع درونیـابی 1α > درنظر گرفته شده است.rj فاصله بین نقطهx و نقطهxj است که در فضای دو بعدی به صورت زیر تعریف می شود:
rj = (x−x )j 2 +(y−y )j 2

(۳)
معادله (٢) به فرم ماتریسی زیر بازنویسی می شود: (۴) u(x) = F .Us
Us بردار مقادیر گره ای مربوط به گر ههای مجاور نقطهx وF توابع شکل شپارد برای N گره محلی است:
Us =[u ,u ,…,u1 2 N ]T (۵) F (x) = Φ[ 1(x),Φ2(x),…,ΦN (x)] (۶) :به صورت زیر تعریف می شود Φi (x) که
∏rjα
Φ

(x) = Nj =1,2,…,N (۷)
∑∏rjα
i 1= j i≠

شکل١ – مدلسازی هندسی دامنه مسئله شکل٢ – دامنه تکیه گاهی نقطه x

توابع شکل شپارد دارای دو خاصیت منحصر به فرد هستند کـهدر تحلیل حدی مرز پایین بسیار مفید هستند. خاصیت اول دارا بودن خاصیت دلتای کرانیکر٢٧ است که اعمال شرایط مـرزی راساده می سازد و خاصیت دوم، که از اهمیت بیشتری برخـورداراست، ارضای اصل حداکثر می باشد [ ٢۴]. براسـاس ایـن اصـلکلیه مقادیر درونیابی شده توسط روش شپارد بین مقادیر گر های حداقل و حداکثر قرار می گیرند. اصل حداکثر در ارضای شرایط عدم تسلیم کاربرد دارد که در بخش های آینـده بـه آن پرداختـهمی شود.

۴ – فرمو لبندی تحلیل حدی عددی مرز پایین
همان طور که پیش از این اشاره شـد، میـدان تـنش مجـاز بایـدتعادل و شرایط مرزی را برای کل دامنه به صـورت کامـل ارضـانماید و وضعیت تنش در هیچ نقطه ای از دامنه از معیـار تسـلیمتجاوز نکند. از طرفی با توجه به رابطه (۴) و با در نظـر گـرفتناین واقعیت که در تحلیل حد پایین متغیر میـدانی تـنش اسـت ، می توان مقدار تنش در هر نقطه را به وسیله توابع شکل به مقادیر تنش گره ای ارتباط داد و به عبارتی می توان مجزاسـازی میـدانتنش پیوسته را توسط روش شپارد براساس رابطه زیر به انجـامرساند:

(۸)
(σij (x مقدار تنش در مختصات فضاییΦz(x) ، x تابع شـکلتعریف شده در رابطـه (7) و (σij (xz مقـدار تـنش گـره ای در مختصات فضاییxz می باشند.K نیز مجموعه گـره هـای قـرار گرفته در دامنه تکیه گاهی نقطهx می باشد.
در ادامه نحوه ارضـای معـادلات تعـادل، شـرایط مـرزی وشرایط عدم تسلیم برای کل دامنه به تفصیل بیان می گردد.

۴ -١ – ارضای معادلات تعادل
برای ایجاد یک میدان تنش مجـاز اسـتاتیکی، تـنش در سراسـردامنه مسئله باید از معادلات تعادل پیروی کند:
∂σij

∂x j + bi = 0 (۹)
σij وbi به ترتیب مؤلفه هـای تانسـور تـنش و نیـروی حجمـی
هستند. ارضای معادله (٩) در گره ها، به معنای ارضای تعادل در همه نقاط دامنه نمی باشد. از ایـن رو، یـک سـلول ورونـویی٢٨ اطراف هر گره ساخته می شود (شکل٣) و مشـتق تـنش در هـرسلول هموار می گردد. به عبارت دیگر هر سلول ورونویی یـکگره را نمایندگی می کند و هموارسـازی مشـتق تـنش در واقـعارضای رابطه به صورت میانگین در کل سلول ورونویی است. از طرفی، با توجه به اینکه اجتماع سلول های ورونویی کل دامنه را پوشش می دهد، در واقع روابـط تعـادل بـه صـورت متوسـط درتمامی نقاط محیط ارضا می گردد.
مشتق تنش در سراسر سلول به صورت زیر هموار می گردد:
9448899592

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

78028899592

∂σij = ∫ΩL Ψ ∂σ∂xijj dΩ (۱۰)
∂xj

شکل٣ – تشکیل سلول ورونویی در اطراف هر گره شکل۴ – سلول ورونویی اطراف نقطه q

بهطوری کهΨ ، σij وΩL بـه ترتیـب تـنش همـوار شـده، تـابعهموار کننده و دامنه سلول ورونویی می باشند. در مطالعات چن و همکاران [٢۶] تابع هموار کننده به صورت زیـر معرفـی شـ ده است:


A1Lx∈AL (۱۱)
Ψ = 0x∉AL
AL مســاحت ســلول ورونــویی اســت. بــا اســتفاده از تــابع هموارکننده چن و همکـاران و بـا قضـیه دیـورژ انس٢٩، معادلـه
(١٠) به صورت زیر ساده تر می شود:
103632114490

∂σij = 1 ∫ σijn dj Γ (۱۲)
∂xjAL ΓL
ΓL مرز سلول ورونویی وnj بـردار واحـد نرمـال در جهـتj می باشد، که در شکل(۴) نشان داده شده اند.
بـا جـای گـذ اری رابطـه (١٢) در رابطـه (٩) معادلـه تعـادلبه صورت زیر تعریف می شود:

A1L Γ∫L σijn dj Γ + bi = 0 (۱۳)
با ارضای رابطه (١٣) در هر سلول ورونویی، شرط تعادل در کل دامنه ارضا خواهد شد؛ سپس مجزا سازی معادلات تعادل توسط روش بدون شبکه شپارد، با جـای گـذاری رابطـه (٨) در رابطـه
(١٣) انجام می شود:

(۱۴)
z KΓL
و در نهایت با در نظر گرفتن کلیه گره های تعریف شده در دامنه مسئله، معادله (١۴) به فرم ماتریسی زیر نوشته می شود:
Aeqs = Beq (۱۵) که
Aeq =[A1A2 …AM]T (۱۶)
Beq = [B1B2 …BM ]T (۱۷)
s = [s1 s 2… s M ]T (۱۸)
در روابط بالا،M تعداد کل گره های سازنده هندسه مسئله است.
در شرایط کرنش صـفحه ای بـردار تـنش هـا ی گـره ای (si ) و نیرو های حجمی (Bi ) به صورت زیر می باشند:
s i = σ[ 11(xi ) σ22(xi ) σ12(xi )]T (۱۹) Bi =[b1i b2i]T (۲۰)
کهb1i وb2i به ترتیب نیروی حجمی وارد بر گره i در جهت ۱ و ۲ هستند. ماتریس های 1A تا AM به گره های قرار گرفته در دامنه تکیه گاهی گره های ١ تا M بستگی دارند. با فـرض اینکـهگره های s ،r و t در دامنه تکیـ هگـاهی گـرهi قـرار گرفتـه انـد ،
ماتریسAi به صورت زیر تعریف می شود:
Ai =[0 … 0 Are 0 … 0 Ase 0 … 0 Aet 0 … 0]
(۲۱)
Aem = A0em1A0em2AAmeem12  (۲۲)
به منظور محاسبه 1Aem و 2Aem باید از یک تکنیک انتگرال گیری عددی استفاده کرد. در اینجـا بـا اسـتفاده از روش ذوز نقـه ای٣٠ ابر ی هر قطعه در شکل ۴ ، 1Ame و 2Aem به صورت زیر به دست آمده است:
Ns
Aem1 =

A1 Φm (xqD )n1D L2D +Φm (xqD 1+ )n1D L2D  L D 1=
Ns
Aem2 =

A1L D 1∑= Φm (xqD )n2D L2D +Φm (xqD 1+ )n2D L2D 
Abos =Bbo (۲۷)
(۲۳)
که در این روابط،Ns تعداد کل ضلع های سلول ورو نـویی مربـوطبه گره xDq ، q و1+xqD دو نقطه انتهـا یی ضـلع مـرزیΓDk وLD طولΓDk هستند.n1D و 2nD نیز به ترتیـ ب طـول م ؤلفـه هـا ی بـردارنرمال وارد بر ضلعΓDk در جهت ۱ و ۲ می باشند.

۴ -٢ – ارضای شرایط مرزی
در مباحث مربوط به تحلیل حدی مـرز پـایین، شـرایط مـرزیشامل تنش ها است، به طوری که میتـوان در مرزهـای مختلـف،شرایط را به صورت زیر بیان کرد:
στ =n =constantconstant (۲۴)
کهσn وτ به ترتیب تنش هـای نرمـال و برشـی در طـول لبـهمرزی می باشند. با توجه به ثابت بودن تنش ها مـی تـوان مشـتقتنش را در راستای مربوطه در سلول های ورونویی مـرزی برابـرصفر قرار داد و با توجه به خاصیت دلتای کرانیکر بـرای توابـعشکل شپارد، به سادگی شرط تنش ثابت بر سـلول هـای مـرزیاعمال می شود. با فرض ثابت بودن تنش در راستای j و با در نظر گرفتن رابطه (١٢) خواهیم داشت:
10363256144

∂σ∂xnj = A1LB Γ∫B σnn dj Γ = 0
∂∂τx=

A1 ∫ τn dj Γ = 0 (۲۵)
jLB ΓB
کهALB وΓB مربوط به سلول ورونویی گره مرزی مـی باشـند .
برای برنامه ریزی عددی لازم است که فـرم مجـزا شـده روابـط(٢۵) ایجاد گردد. از اینرو با جای گذاری معادلـه (٨) در معادلـه
(٢۵) داریم:
z K∑∈ B

A1LB Γ∫B Φz (x)σn (x )n dzj Γ = 0
(۲۶) که Abo ماتریس ضرایبی اسـت کـه از اعمـال رابطـه (۲۶) بـه سلول های ورونویی مرزی مسئله به دست می آید و Bbo بـردارمرتبط با مقادیر مشخص تن شها در طول مرز می باشد.

۴ -۳ – شرط تسلیم
یکی از خصوصیات منحصر به فرد تابع شـپارد برخـورداری از اصل حداکثر است. براسـاس ا یـن اصـل ، بـرا ی همـه نقـاط xj کـه j = 1,2,…, N مقـاد یر تـابع ( )u x توسـط حـداکثر مقـدارگره ای (max(u )j ) از بالا و حداقل مقدار گـره ای (min(u )j ) از پایین محدود شده است. این ویژگی را می توان به صورت زیر بیان کرد: (٢٨) let Mm ≤=u xmax(u ) , m( ) ≤jM = min(u ) thenj
با توجه به اینکه متغیر میندا ی در روش پیشنهادی در این مقالـه،تنش ها می باشند؛ بنابراین با در نظر گرفتن اصل حداکثر، مقـاد یر درون یـابی شـده توسـط روش شـپارد همـواره بـین حـداقل و حداکثر تنش های گره ای واقع می شوند. از اینرو اگر کنترل عدم تجاوز از میدان تسلیم برای میدان تنش درون یابی شـده توسـطروش شپارد تنها در گره ها صورت گیرد، متضـمن ارضـا شـرطعدم تسلیم در کل نقاط دامنه خواهد بود.
در مقاله حاضر از معیار تسلیم مـور -کولمـب ٣١ در شـرایطکرنش مسطح استفاده شده است. ایـ ن معیـ ار در فضـا ی (2,1) به صورت زیر تعریف می شود:
295656-53615

F =(σ11 −σ22)2 + σ4 122 + σ( 11 +σ22)sinφ−2ccosφ
(٢٩)
به طوری که،c وφ به ترتیب چسبند گی و زاویه اصطکاک خـاکمی باشند. شرط لازم برای مجـاز بـودن میـدان تـنش بـه لحـاظخمیری آن است که:
F ≤ 0 (٣٠)
در واقع این شرطی است که برای وضـعیت تـنش هـا ی گـره ای باید برقرار باشد تا میدان تـنش در نظـر گرفتـه شـده بـه لحـاظخمیری سازگار باشد.
۵ – تشکیل مسئله بهین هیابی
در قسمت های قبل شرایط تشکیل میدان تنش مجاز بیان گردید.
این میدان تنش ناشی از یک تحریک خارجی است که در اکثـرمسائل پایداری، بارگذاری خارجی در قسمتی از مرز مـی باشـد . بنابراین مسئله تحلیل حدی مرز پایین در واقع یافتن یک میدان تنش مجاز است که حداکثر مقدار بار خارجی را به دست دهـد . لذا روند حل در یافتن مرز پایین بار حدی به یک مسئله بهینه یابی مقید می انجامد که در آن تابع هدف٣٢ بارگذاری خارجی و قیود آن شرایط مربوط به تعادل، مرزها و عدم تسلیم نقاط هستند. بر این اساس تابع هدفی به صورت زیر تعریف می شود:
Q = h∫σnf dS (۳۱)
SکهQ بار حدی،h ضخامت عمود بر صفحه،σnf تـنش نرمـالاعمال شده بر ناحیه بارگذاری در مرز وS طـول ناحیـه تحـت بارگذاری می باشد. با استفاده از روش گـاوس ٣٣، فـرم گسسـتهرابطه (۳۱) به شکل زیر بازنویسی می گردد:
NG
Q = h∑ω σinf (xG ,yG ) (۳۲)
i 1=
کهNG تعداد نقاط گاوس واقع شده در طول ناحیـ هωi ، S وزن نقطــه گــاوسi و(x ,yG G) مختصــات نقطــه گــاوس در فضای(x, y) می باشد.
درنهایت با مشخص بودن تابع هـدف و قیـود لازم، مسـئلهبهینه یابی به صورت زیر تشکیل می گردد:
MaximizeQ(s )
Subjected To:
Aeqs = Beq


دیدگاهتان را بنویسید