tt  n 12m
181660895503

241401695503

∑ w x
J(u) = ∫t0f g x(t),u(t),t dt()=∫t0f  i 1= 2ii +∑j 1= 12 r uj 2j dt
(١)
که 0t و tf به ترتیب زمان اولیـه و زمـان نهـایی هسـتند،x حالت، u ورودیهای کنترل، w و r به ترتیب وزن حالتها و ورودیهـا هســتند، n وm تع داد حالــت هـا و ورودیهــا هستند.
و شرایط مرزی مسئله به صورت (٢) است:
X(t )f = Xf , X(t )0 = X0 (٢)

٢ -١- رویکرد تغییراتی برای کنترل بهینه
ورودی های کنترل به صورت (٣) محدود شده اند:
(٣) Ui− ≤ Ui ≤ Ui+ i = 1, 2,…,m با فرض اینکه معادلات حرکت مطابق با (۴) فرض شوند کـهa و c توابعی مشخص می باشند، اشر یط لازم بهینگی با استفاده از اصل کمینه پانتریاگین بـه وسـ یله معـادلات (۵) تـا (٨) تعر یـف می شوند:
x(t)= a x(t),t()+c x(t),t u(t)() (۴)
x (t)*= ∂∂Hp (x*(t), u*(t), p*(t), t) (۵)
p (t)*=− ∂H (x*(t), u*(t), p*(t),t) (۶)
∂x
∂H

∂u (x*(t), u*(t), p*(t), t) = 0 (٧)
H(x*(t), u*(t), p*(t), t) ≤ H(x*(t), u(t),p*(t),t)
for all admissibleu(t)
(٨)
فرمول (۶) معادلات شبه حالات را بـر مـیگردانـد کـه در آنp بـهعنوان ضریب کمکی لاگرانژ یا شبه حالت١٢ است و فرمول هـای (٧) و (٨) نیــز شــرایط لازم بــرای بهینگــی را مــیدهنــد. بــرای همــه [t∈[t t0, f معادله (٨) به عنـوان اصـل کمینـه پانتریـاگین شـناختهمیشود که در آن H تابع همیلتونین بوده و به (٩) تعریف می شود:
H (x(t), u(t), p(t), t) = g (x(t), u (t), t )+ p T (t)x(t)
(٩)
برای Ui+

t t t, f  به ترتیب محـدودیت هـایپایین و بالا هستند. طبق (١) و (٩) و بـا فـرض اینکـه &x بـهوسیله تابع ( ,(),())a x t u t t بیان شـود، همیلتـونین بـه صـورتفرمول (١٠) تعریف میشود:

H(x(t),u(t),p(t),t) =∑i 1=n

1 w x2 +∑m

1 r uj 2j 
2iij 1= 2
+p (t) a x(t),tT ()+c x(t),t u(t)()
(١٠)
در نهایت n٢ معادله دیفرانسیل معمـول ی١٣ (ODE) وجـود دار د که n معادله مربوط به حالات و n معادله دیگر مربوط بـه شـبهحالات است. از طرفی زمان و شرایط مرزی لاو یه و نهایی برای هر کدام از حالت ها مشخص است. با جایگـذاری (١٠) داخـل
(٨) نتیجه میدهد:
p*T (t)c(x (t), t)u (t**) ≤ p*T (t)c(x (t), t)u(t*)
(١١)
بنابراین، طبق (۵)، (۶) و (٧) اشر یط بهینگی را می توان به وسیله مشتق گیری از تابع همیلتونین نسبت به حالت، کمـک حالـت وکنترل مطابق زیر به دست آورد:

T (١٢)
r ui*i + p c*ii = 0 i = 1, 2,…, m (١٣)
از آنجا که ورودی های کنترل محدود شده اند، با استفاده ازکنترل بهینه به صورت (١۴) داده می شود:
U i+−1p c UT i−i−ri−< −1p cTri−i1p>*TUci+i < Ui+
ui = −U r−i− ri−1p*Tci < Ui−
i
حال یک دستگاه معادلات دیفرانسیل معمـول ی بـا شـرایط اولیـه و نهایی وجود دارد که اصطلاحاﹰ به آن یـک مسـئله مقـدار مـرزی دو نقطهای گفته میشود. این معادله به وسـ یله روشهـا ی عـدد ی حـلـمـیشــود و ایــن روشهــای عــددی بــا دســتورات مختلــف در نرم افزارهای مختلف موجودند. این دستورات احتیاج به یک حدس لاو یه دارند و از طرفی جواب خروجی وابستگی بسـیار زیـادی بـهحدس اولیه دارد، به گونهای که حتی ابر ی یک سری حـدس هـای اولیـه مسـئله منفـرد ١۴ شـده و جـوابی نـدارد و از طرفـی بـه ازای حدس های لاو یه مختلف جوابهای مختلف وجود دارد. بنابر ایـن ابر ی به دست آوردن کمینه مطلق یا سراسری یا در سـطح پـایین تـرنزدیک شدن به کمینـه سراسـری، نیـاز بـه مقا یسـه هزینـه جـواب حدسهای مختلف وجـود دارد . حـدس هـا ی مختلـف بـه کمـکالگوریتم ژنتیک ایجاد و تغییر داده میشوند و پس از حل به کمـککنترل بهینه هزینههای آنها مقایسه مـیشـود . در ادامـه مـروری بـرعملگرهای ژنتیک مـورد اسـتفاده بـرای ایجـاد حـدسهـای اولیـهمختلف میشود و یک عملگر جدید نیز توضیح داده میشود. ابر ی حل مسئله مقدار مرزی نیاز به یک حدس اولیه وجود دارد. حـدسلاو یه به وسیله یک سری چنـد جملـه ای بـرا ی هـر حالـت فـراهممی شود که به صورت (١۵) است. لازم به ذکر است دلیل اسـتفاده ازچند جملهای، انعطاف پذیری آنها بوده است؛ زیرا چند جملـه ای هـارا میتوان به سادگی با تغییر ضرایب تغییر داد:
x = a t1 n + a t2 n-1 +…+ an+1 (١۵)
اضر یب به وسیله الگوریتم ژنتیک تغییر می کنند.

٢ -٣ – عملگرهای ژنتیک مورد استفاده
٢ -٣ -١ – کد بندی
در ایـن مطالع ه هـر کرومـوزوم از یـک مـاتریسm×(n +1) تشکیل شده است که n و m به ترتیب مرتبه چند جملـه ای و تعداد حالتها هستند. نمونهای از یـک کرومـوزوم بـ هصـورت(١۶) نشان داده شده است:
 a1,1

 a2,1
C =
a(m 1),− 1 
 am 1× a1,2
a2,2 
a(m 1),− 2 am,2 



 a1,n
a2,n 
a(m 1),n− am,n a1,(n+1)  
a2,(n+1) 

a(m 1),(n−+1) 

am (n 1)× +
(١۶)
این یعنی اینکه هر سطر، یک فرمول برحسب زمـان بـرای هـرحالت می دهد:
T =tn tn 1− 1 (١٧) xi = C Ti T (١٨)
که در فرمول (١٧)، t نشاندهنده زمان برحسب ثانیه و n نشـاندهندهمرتبه چند جملـه ایـی اسـت کـه بـرای هـر یـک از حالـت هـا (xi) برحسب زمـان بـرازش مـی شـود . لـذا مـی تـوان معادلـه هرکـدام ازحالت ها را در زمان به صورت یک چند جمله ایی مانند فرمـول (١٨) نوشت. به عبارت دیگر فرمول (١٨) برازشی در زمان برای هـر کـداماز حالت ها به صورت یک چند جمله ایی با مرتبه n است.

٢ -٣ -٢ – عملگر انتخاب
هدف این بخش انتخاب کروموزومهـای مناسـب بـا توجـه بـههزینه آنها است. بدین صورت که هرچه کرومـوزوم مناسـبتـر(در اینجا، دارای هزینه کمتر) باشـد احتمـال انتخـاب آن بـرایعملیات ترکیب بیشتر باشد. بـرا ی انتخـاب جفـت کرومـوزوممناسب، ابتدا تعـدادی کرومـوزوم دارای هزینـه پـایین انتخـابمی شوند. با فرض اینکه l کروموزوم انتخـاب شـدهانـد، تعـدادتکرار هر کروموزوم مطابق با (١٩) به دست میآید:
591312123622

repeati = new cos tli ×50l (١٩)

new cos t j

جدول ١ – نمونه ای از تابع repeat
i (اندیس l) ١ ٢ ٣ ۴
Cost (هزینه) ١٣۴ ۴٣/٢ ۴٨۶ ٢١٩
newcost ٠/٠٠٧۵ ٠/٠٢٣١ ٠/٠٠١٣ ٠/٠٠۴۶
repeat ۴١ ١٢٧ ٧ ٢۵

جدول ٢ – جفت کروموزوم های انتخاب شده
جفت کروموزوم (کروموزوم اول انتخاب شده) 1i ٢ ٢
(کروموزوم دوم انتخاب شده) 2i ۴ ١

به خاطر اینکه هزینههای کمینه مهم هستند، تابع جدید newcost مطابق (٢٠) تعریف شده است:
new cos ti =

cost1 i (٢٠)
حـال در یـک خانـه فرضـی کـه دارای l۵٠ اتـاق اسـت، هـر کروموزوم به تعداد تکرارش (repeati) تکثیـر مـیشـود و اتـاقاشغال میکند. حال اگر فرض کنیم تعـداد ترکیـبهـاn باشـد،آنگاه به صورت تصادفی 2n اتاق را انتخاب میکنـیم، و از آنجـاکه هر اتاق متعلق بـه یکـی از کرومـوزومهـا اسـت، در نتیجـهکروموزومهای انتخاب شده دو به دو با هم عملیـات ترکیـب راانجام میدهند. لازم به ذکر است که ضریب “۵٠” صرفاﹰ برای بالا بردن تعداد انتخابها و درنتیجه بالا بردن دقت احتمال انتخـابشدن کروموزومها استفاده شده است و یک عدد دلخواه اسـت . برای واضحتر شدن روش توضیح داده شده از یک مثال استفاده میشود. با فرض اینکه ٢=n و ۴=l و جدول١ هزینه و مشخصه هر کروموزوم را نشان دهد.
حال، بـا توجـه بـه تـابعrepeat بـرای هـر کرومـوزوم، آن کروموزوم تکثیر شده و اتاق بـ ه خـودش اختصـاص مـیدهـدمطابق شکل ٣ از بین اتاقهـا ، ۴ (یـا همـانn ٢) اتـاق بـه طـورتصــادفی انتخــاب مــیشــود. درنتیجــه بــر طبــق جــدول ٢، کروموزوم های مربوط به 1i و 2i با همدیگر عملیات ترکیب را انجام میدهند. مثلاﹰ طبق ستون اول کروموزومهای شماره ٢ و ۴ باهم عملیات ترکیب را انجام میدهند.

room number1 41 42 168 169 175 176 200
⇓ ⇓
index chromosome 111222333444
شکل ٣ – انتخاب جفت کروموزوم

٢ -٣ -٣ – عملگر ترکیب
از آنجا که محتویات کروموزوم ها عدد حقیقی هسـتند نـه عـددصحیح، یکی از روش های عملیات ترکیب این است که ضرایب کروموزوم ها با هم ترکیب شوند یعنـ ی اینکـه عمل یـات ترکیـ ب روی ماتریس انجام شود یعنی جای درا یـه هـا ی مـاتر یس هـا را عوض کنیم. هر درایه ماتریس، هم دارای قسمت صحیح و هـماعشاری است، یعنی اینکه یـک عـدد خـاص اسـت. در نتیجـه ترکیب هم فقط روی اعداد خاصی صورت می گیرد که این امـر
باعث می شود که نتوان فضای زیادی را جستجو کرد، و فضـا ی جستجو بسیار محدود می شـود . روش دیگـر ترکیـ ب کـه یـک روش ابتکاری است، به ا یـن گونـه اسـت کـه ترکیـ ب را روی ادر یه های ماتریس انجام دهیم، به ا یـن صـورت کـه درا یـه هـا ی متناظر طبق روابط ارائه شده، که در ادامه می آیند، با هم ترکیـ ب شوند. این امر سبب می شود ادر یه های ماتریس هنگام عمل یـات ترکیب انعطاف بیشتری داشته باشند و مقادیر مختلفی را به خود بگیرند، که این امر سبب جسـتجو ی ناحیـ ه بسـ یار بـزرگ تـر ی می شود. با توجه بـه نکـات گفتـه شـده، در ا یـن کـار از روشترکیب خاصی استفاده می شـود کـه ترک یـ ب را روی تـک تـکادر یه های ماتریس ها صورت می دهد. از این رو برای ترکیـ ب از یک فرمول استفاده می شـود . بـد ین صـورت کـه هـر درایـ ه دو کرومـوزوم از طریـق دو فرمـول (٢١) و (٢٢) بـا هـم ترکیـب می شوند و دو کروموزوم بچه را تولید می کنند: (٢١) 2y =α + −αx1 (1)x

y =αx2 + −α(1)x1 (٢٢)
که α از لحاظ ابعاد هم اندازه 1x است و درایههای آن با فـرضاینکه بهصورت (٢٣) محدود شدهاند به صورت تصادفی انتخاب میشوند:
−δ<α < +δij 1 (٢٣)
که δ یک عدد ثابت است و αij درایه سطر iام و سـتون j ام مـاتریس
α است. نمونهای از عملیات ترکیب در شکل ۴ نشان داده شده است.

٢ -٣ -۴ – جهش
جهش روی ٢۵ درصد از کروموزوم هـا یی کـه تحـت عمل یـات ترکیب قرار گرفته اند صورت مـ ی گ یـرد. جهـش ن یـز بـه ماننـدترکیب با استفاده از یک فرمول انجام می شود. ابتدا بـه صـورتتصادفی ٢۵ درصد از کروموزوم هایی که تحت عملیات ترکیـ ب قرار گرفته اند، انتخاب می شوند، سپس یکی از سـتون هـا ی هـرکروموزوم بهصورت تصادفی انتخـاب مـی شـود و محتـوا ی آن ستون مطابق با معادله (٢۴) تغییر می کند:
y = +σx (٢۴)
که σ به طور تصادفی انتخاب می شود با فرض اینکه رابطه (٢۵) را ارضا کند:
0.1xmin <σ< 0.1xmax (٢۵)
کــه xmin و xmax بــه ترتیــب کمتــرین و بیشــترین م ؤلفــه کروموزوم هستند و هر مقداری را می توانند بگیرند ولـ ی بـرا ی داشـتن نت یجـه مطلـوب تـر بهتـر اسـتxmin و xmax دارای علامت های مخالف باشند.
 123
−36.3169
x1 =
 0.0230 −98.3215
19.8912
−0.1837 −34.03
10.5886
0.3516 28.8327
24.4819
0.0445 19.0210
−30.5864
0.1623 −16.1755
−1.4511 
−0.1254  0.8228 -0.0796 0.9138 -0.0616 0.4875 0.0758
 76.0315
−198.894 x2 =
 13.965
−273.902
 −174.929 769.054
−36.7423
668.44 126.611−29.2805
−934.187415.222
41.5234−16.7593
−606.01297.1 2.7575
−52.3463 0.1351
−55.6823 1.0098
1.6859 −2.008

0.8113  1.0140.93530.5627

0.59610.48120.6559 0.3349
-0.0406 0.0477
0.1466 -0.0488

0.6622
 114.6788
-101.7158
y1 =
 -0.1718

 -110.4045 -181.0285
735.3181
-2.5508
343.7284 -20.1871
-791.2147 18.3540
-207.9752 -32.8609
166.0642
-11.1318
309.2128 10.6857
-49.4955
0.1364
-47.2294 -0.2932
1.2878  -2.1838

0.1878  0.3728−6.41750.8799 −1.53251.9798−0.1302 

a =0.59770.0450.15130.63770.1310.1269
 84.3527 -92.222 112.7681 32.413111.0928-14.8725
y2 = -133.4951 53.6271 -132.1137 273.6397 -33.4372 -1.0531   14.1598 -34.3752 23.5210 -5.583 0.161 -0.0296 

-163.1247318.2941-397.1549-13.6453-6.47310.4933 
شکل ۴ – نمون های از عملیات ترکیب

نکته دیگری که در الگوریتم ژنتیک مـورد اسـتفاده ، درنظـ ر گرفته شده است، استراتژی حفظ نخبه هـا اسـت، بـا ا یـن کـاراحتمال از بین رفتن بهترین جواب ها پس از ترکیب و جهش در مراحل بعدی از بین می رود.

٣ – شبی هسازی
در این بخش برای بررسی نحوه عملکرد و تأیید روش پیشنهاد شده دو مثال با استفاده از روش ذکر شده توضیح داده می شـود . مثال اول، مربوط به یک بازوی مکانیکی دو عضوی است که در مرجع [٧] وجود دارد. این مورد یک مسئله انرژی بهینه است و نتایج به دست آمده به وسیله روش پیشنهاد شده را با آن مقایسـه می کنیم. مثال دوم مربوط به یک بازوی پوما سه عضـو ی اسـتکه جهت نشان دادن کارایی روش مذکور است. در هر دو مثال، هدف پیدا کردن مسیر بهینه بـرا ی مجـر ی نهـا یی ربـات، بـرای حرکت از نقطه اولیه به نقطه نهایی است، به گونـه ای کـه تـابعهزینه (١) کمینه شود.

٣ -١ – بازوی دو عضوی صفحه ای

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

همان طور که ذکر شد از این مثـال جهـت تأییـد روش اسـتفاده

جدول ٣ – پارامترهای فیزیکی بازوی رباتی دو عضوی
پارامتر مقدار واحد
طول عضوها L1 =1,L2 =1 M
جرم عضوها m1 =1,m2 =1 Kg
ممان اینرسی I1 =1,I2 =1 Kg.m 2
جرم نوک عضوها ma = 0,m p = 0 Kg

شکل ۵ – بازوی رباتی دو عضوی

میشود. پارامترهای فیزیکی مطابق مرجع [٧] درنظر گرفته شـده ودر جدول ٣ آورده شده است. همان گونه که از شـکل ۵ مشـخصاست 1θ نسبت بـه محـور افقـی و 2θ نسـبت بـه 1θ سـنجیدهمی شود. حالات به صورت x = θ 1 θ2 θ1 θ2 T تعریف شدهاند. زمان اولیه، زمان نهایی، شرایط اولیه و هم چنین شـرایطنهـــایی مشـــخص اســـت؛ چنانچـــه tf =1sec ، t0 = 0 sec ،
و xf =π20.0100T و x0 =[00.0100]T
w j = 0 (j = −1 4) و ri =1 (i =1,2) وز ن هــا بــ هصــورت .هستند
از آنجا که سیستم دارای قید هولونومیک اسـت، همیلتـون ین به صورت (٢۶) تعریف می شود:
41148281483

H = 12 u12 + 12 u22 + p (t) a x(t),tT ()+ c x(t),t u(t)()
(٢۶)
که 1u و 2u گشتاور مفاصل در عضوهـای “١” و “٢” هسـتند .
1859280

0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
time[s]
θ
1
[
r
a
d]

0

0.1

0.2

  • 1

پاسخ دهید